문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 아인슈타인 방정식 (문단 편집) ==== 프리드만 - 르메트르 - 로버트슨 - 워커 계량 (Friedmann - Lemaître - Robertson - Walker Metric ; FLRW) ==== 아인슈타인 방정식은 하나의 천체를 중심으로 한 중력장을 넘어서, 우주 전체의 물질 분포에 대한 중력장도 구할 수 있다. 이것을 현대 우주론에 활용하고 있다. 먼저, 현대 우주론에서는 우주가 균일(homogeneous)하고 등방(isotropic)적이라고 가정하고 있다. 따라서 전 시간에 걸쳐 우주 공간 전체에 균일한 평균 밀도를 가정할 수 있다. 여기에 다음을 가정하자. (1) 시공간을 각각의 시간에 대하여 균일하고 등방적인 3차원 초곡면으로 나눌 수 있다. (2) 그 동시성(즉, 동시로 측정되는 사건들의 집합)의 기준은 우주의 물질 전체가 평균적으로 정지해 있는 좌표계이다.[* 따라서, 각각의 은하는 이 좌표계에서 정지해있다, 또는 고정된 공간 좌표 [math((x^{1}, x^{2}, x^{3}))]를 가진다고 가정할 수 있다. 이 때 이 좌표계의 시간 좌표는 각 은하의 고유시간으로 설정할 수 있다.] 이로부터 기본적인 계량의 구조를 추정할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(ds^2 = -dt^{2} + a^{2}(t)h_{ij}dx^{i}dx^{j})] }}} 일단, 빅뱅 이론이 그렇듯이 닮은 꼴 좌표라도 시간좌표에 따라서 공간의 scale 자체가 커지거나 작아질 수 있다(각각의 좌표 격자에 들어가는 부피가 커진다). 따라서 적당히 정한 [math(t = t_{0})]에 대하여 기준 scale [math(h_{ij}(t_0))]을 정하고, 여기에 시간에 따른 scale factor [math(a(t))][* [math(a(t_0) = 1)]]를 곱해 위와 같은 공간 성분 계량을 유도해낼 수 있다. 또한 시간 축은 각 초곡면에 수직일 것이므로[* 공간 좌표 역할을 하는 은하들이 정지해 있으므로] 시간축과 공간축의 내적은 [math(g_{0i} = 0)]이다. 이제, [math(h_{ij})]를 구해보자. metric 자체가 등방적이므로, [math(h_{ij})]는 원점에 대한 구 대칭이어야 한다. 한편 구 대칭 계량(공간 성분)의 일반형은 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle dl^2 = e^{2\Lambda(r)}dr^2+r^2d\Omega^2)] }}} 으로 주어진다. 여기에는 균일 조건을 넣지 않은 상태인데, 이는 (3차원 공간, 즉 [math(dl^2)]에 대한) 리치 스칼라 [math(R = R^{\,i}_i)]가 균일하다는 조건으로 바꿀 수 있다. (물질 분포가 균일하므로, 각 점에서의 곡률도 균일할 것이다.) 이제 이 일반형으로 3차원 리치 스칼라를 계산하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle R = \frac{2}{r^2}[1 - (re^{-2\Lambda})'] = 6k)] }}} 라 둘 수 있다. [math(k)]는 곡률 상수라 부른다. 여기서 [math(\displaystyle dl^2(t_{0}) = h_{ij}dx^{i}dx^{j} = \frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 d\Omega^2)]이라 두면 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle ds^2 = -dt^2 + a^2(t)\biggl[\frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 d\Omega^2 \biggr])] }}} 를 얻는다. 이것이 FLRW 계량이다. 이제 우주의 전체 (공간) 구조를 [math(k = -1, 0, 1)] 세 경우에 대한 계량으로 분류할 수 있다. (이외는 함수 계수를 바꾸면 이 셋 중 하나로 바뀐다.) || [math(k)] || '''치환''' || '''초곡면 계량''' || '''우주 모델''' || || [math(k = 0)] || - || [math(dl^2 = a^2(t)(dr^2 + r^2 d\Omega^2))] || 평평한 우주 || || [math(k = 1)] || [math(\displaystyle d\chi^2 = \frac{dr^2}{1 - r^2})] || [math(dl^2 = a^2(t)(d\chi^2 + \mathrm{sin}^2 \chi \,d\Omega^2))] || 닫힌 우주 || || [math(k = -1)] || [math(\displaystyle d\chi^2 = \frac{dr^2}{1 + r^2})] || [math(dl^2 = a^2(t)(d\chi^2 + \mathrm{sinh}^2 \chi \,d\Omega^2))][* 시간까지 합치면 민코프스키 공간과 동일하다.] || 열린 우주 || 여기까지는 우주가 등방하고 균일하다는 성질만 이용했지 아인슈타인 방정식은 사용되지 않았다. 여기에 우주의 평균밀도 [math(\rho)]를 이용해 [math(T_{\mu\nu})]를 구하고, 아인슈타인 방정식에 대입하여 scale factor [math(a(t))]를 구체적으로 정할 수 있다. (프리드만 방정식)저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기